仁骏信息网 > 已知x1,x2是方程x^2-2kx+k+6的两个实数根，试用k表示f(k)=(x1-1)^2+(x2-1)^2

已知x1,x2是方程x^2-2kx+k+6的两个实数根，试用k表示f(k)=(x1-1)^2+(x2-1)^2

并求出定义域，最大值，最小值

2025-12-14 07:20:41

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回答1：

解：由已知，
Delta=(-2k)^2-4(k+6)>=0.
解得 k<-2或k>3.
由韦达定理,得
x1+x2=2k,
x1*x2=k+6.
则 x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2*x1*x2
=4k^2-2k-12.
则f(k)=(x1-1)^2+(x2-1)^2
=x1^2+x2^2-2(x1+x2)+2
=4k^2-2k-12-2(k+6)+2
=4k^2-4k-22.
定义域为(-无穷大,-2)U(3,无穷大).

由于f(k)=4(k-1/2)^2-23,
且k=1/2属于(-2,3),
f(1/2)=-23,
f(-2)=2，
f(3)=2.
因此作出y=f(k),k属于(-无穷大,-2)U(3,无穷大)的图象.
由图象知，
f(k)没有最大值，最小值为2.